Главная · Диагностика заболеваний · Как решить уравнение высших степеней. Урок Алгебры «Методы решения уравнений высших степеней

Как решить уравнение высших степеней. Урок Алгебры «Методы решения уравнений высших степеней

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. В математике довольно часто встречаются уравнения высших степеней с целыми коэффициентами. Чтобы решить данного рода уравнения необходимо:

Определить рациональные корни уравнения;

Разложить на множители многочлен, который находится в левой части уравнения;

Найти корни уравнения.

Допустим, нам дано уравнение следующего вида:

Найдем все действительные его корни. Умножим левую и правую части уравнения на \

Выполним замену переменных \

Таким образом, у нас получилось приведенное уравнение четвертой степени, которое решается по стандартному алгоритму: проверяем делители, проводим деление и в результате выясняем, что уравнение имеет два действительных корня \ и два комплексных. Получим следующий ответ нашего уравнения четвертой степени:

Где можно решить уравнение высших степеней онлайн решателем?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Рассмотрим решения уравнений с одной переменной степени выше второй.

Степенью уравнения Р(х) = 0 называется степень многочлена Р(х), т.е. наибольшая из степеней его членов с коэффициентом, не равным нулю.

Так, например, уравнение (х 3 – 1) 2 + х 5 = х 6 – 2 имеет пятую степень, т.к. после операций раскрытия скобок и приведения подобных получим равносильное уравнение х 5 – 2х 3 + 3 = 0 пятой степени.

Вспомним правила, которые понадобятся для решения уравнений степени выше второй.

Утверждения о корнях многочлена и его делителях:

1. Многочлен n-й степени имеет число корней не превышающее число n, причем корни кратности m встречаются ровно m раз.

2. Многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.

3. Если α – корень Р(х), то Р n (х) = (х – α) · Q n – 1 (x), где Q n – 1 (x) – многочлен степени (n – 1).

4.

5. Приведенный многочлен с целыми коэффициентами не может иметь дробных рациональных корней.

6. Для многочлена третьей степени

Р 3 (х) = ах 3 + bx 2 + cx + d возможно одно из двух: либо он разлагается в произведение трех двучленов

Р 3 (x) = а(х – α)(х – β)(х – γ), либо разлагается в произведение двучлена и квадратного трехчлена Р 3 (x) = а(х – α)(х 2 + βх + γ).

7. Любой многочлен четвертой степени раскладывается в произведение двух квадратных трехчленов.

8. Многочлен f(x) делится на многочлен g(х) без остатка, если существует многочлен q(x), что f(x) = g(x) · q(x). Для деления многочленов применяется правило «деления уголком».

9. Для делимости многочлена P(x) на двучлен (x – c) необходимо и достаточно, чтобы число с было корнем P(x) (Следствие теоремы Безу).

10. Теорема Виета: Если х 1 , х 2 , …, х n – действительные корни многочлена

Р(х) = а 0 х n + а 1 х n - 1 + … + а n , то имеют место следующие равенства:

х 1 + х 2 + … + х n = -а 1 /а 0 ,

х 1 · х 2 + х 1 · х 3 + … + х n – 1 · х n = a 2 /а 0 ,

х 1 · х 2 · х 3 + … + х n – 2 · х n – 1 · х n = -a 3 / а 0 ,

х 1 · х 2 · х 3 · х n = (-1) n a n / а 0 .

Решение примеров

Пример 1.

Найти остаток от деления Р(х) = х 3 + 2/3 x 2 – 1/9 на (х – 1/3).

Решение.

По следствию из теоремы Безу: «Остаток от деления многочлена на двучлен (х – с) равен значению многочлена от с». Найдем Р(1/3) = 0. Следовательно, остаток равен 0 и число 1/3 – корень многочлена.

Ответ: R = 0.

Пример 2.

Разделить «уголком» 2х 3 + 3x 2 – 2х + 3 на (х + 2). Найти остаток и неполное частное.

Решение:

2х 3 + 3x 2 – 2х + 3| х + 2

2х 3 + 4 x 2 2x 2 – x

X 2 – 2 x

Ответ: R = 3; частное: 2х 2 – х.

Основные методы решения уравнений высших степеней

1. Введение новой переменной

Метод введения новой переменной уже знаком на примере биквадратных уравнений. Он заключается в том, что для решения уравнения f(x) = 0 вводят новую переменную (подстановку) t = x n или t = g(х) и выражают f(x) через t, получая новое уравнение r(t). Решая затем уравнение r(t), находят корни:

(t 1 , t 2 , …, t n). После этого получают совокупность n уравнений q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , … , q(x) = t n , из которых находят корни исходного уравнения.

Пример 1.

(х 2 + х + 1) 2 – 3х 2 – 3x – 1 = 0.

Решение:

(х 2 + х + 1) 2 – 3(х 2 + x) – 1 = 0.

(х 2 + х + 1) 2 – 3(х 2 + x + 1) + 3 – 1 = 0.

Замена (х 2 + х + 1) = t.

t 2 – 3t + 2 = 0.

t 1 = 2, t 2 = 1. Обратная замена:

х 2 + х + 1 = 2 или х 2 + х + 1 = 1;

х 2 + х - 1 = 0 или х 2 + х = 0;

Ответ: Из первого уравнения: х 1, 2 = (-1 ± √5)/2, из второго: 0 и -1.

2. Разложение на множители методом группировки и формул сокращенного умножения

Основа данного метода также не нова и заключается в группировке слагаемых таким образом, чтобы каждая группа содержала общий множитель. Для этого иногда приходится применять некоторые искусственные приемы.

Пример 1.

х 4 – 3x 2 + 4х – 3 = 0.

Решение.

Представим - 3x 2 = -2x 2 – x 2 и сгруппируем:

(х 4 – 2x 2) – (x 2 – 4х + 3) = 0.

(х 4 – 2x 2 +1 – 1) – (x 2 – 4х + 3 + 1 – 1) = 0.

(х 2 – 1) 2 – 1 – (x – 2) 2 + 1 = 0.

(х 2 – 1) 2 – (x – 2) 2 = 0.

(х 2 – 1 – х + 2)(х 2 – 1 + х - 2) = 0.

(х 2 – х + 1)(х 2 + х – 3) = 0.

х 2 – х + 1 = 0 или х 2 + х – 3 = 0.

Ответ: В первом уравнении нет корней, из второго: х 1, 2 = (-1 ± √13)/2.

3. Разложение на множитель методом неопределенных коэффициентов

Суть метода состоит в том, что исходный многочлен раскладывается на множители с неизвестными коэффициентами. Используя свойство, что многочлены равны, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях, находят неизвестные коэффициенты разложения.

Пример 1.

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = 0.

Решение.

Многочлен 3-й степени можно разложить в произведение линейного и квадратного множителей.

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = (х – а)(x 2 + bх + c),

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = х 3 +bx 2 + cх – ax 2 – abх – ac,

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = х 3 + (b – a)x 2 + (cх – ab)х – ac.

Решив систему:

{b – a = 4,
{c – ab = 5,
{-ac = 2,

{a = -1,
{b = 3,
{c = 2, т.е.

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = (х + 1)(x 2 + 3х + 2).

Корни уравнения (х + 1)(x 2 + 3х + 2) = 0 находятся легко.

Ответ: -1; -2.

4. Метод подбора корня по старшему и свободному коэффициенту

Метод опирается на применение теорем:

1) Всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена.

2) Для того, чтобы несократимая дробь p/q (p – целое, q – натуральное) была корнем уравнения с целыми коэффициентами, необходимо, чтобы число p было целым делителем свободного члена а 0 , а q – натуральным делителем старшего коэффициента.

Пример 1.

6х 3 + 7x 2 – 9х + 2 = 0.

Решение:

6: q = 1, 2, 3, 6.

Следовательно, p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

Найдя один корень, например – 2, другие корни найдем, используя деление уголком, метод неопределенных коэффициентов или схему Горнера.

Ответ: -2; 1/2; 1/3.

Остались вопросы? Не знаете, как решать уравнения?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Основные цели:

  1. Закрепить понятие целого рационального уравнения -й степени.
  2. Сформулировать основные методы решения уравнений высших степеней (n > 3).
  3. Обучить основным методам решения уравнений высших степеней.
  4. Научить по виду уравнения определять наиболее эффективный способ его решения.

Формы, методы и педагогические приемы, которые используются учителем на уроке:

  • Лекционно-семинарская система обучения (лекции – объяснение нового материала, семинары – решение задач).
  • Информационно-коммуникационные технологии (фронтальный опрос, устная работа с классом).
  • Дифференцированное обучение, групповые и индивидуальные формы.
  • Использование исследовательского метода в обучении, направленного на развитие математического аппарата и мыслительных способностей каждого конкретного ученика.
  • Печатный материал – индивидуальный краткий конспект урока (основные понятия, формулы, утверждения, материал лекций сжато в виде схем или таблиц).

План урока:

  1. Организационный момент.
    Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность, определить содержательные рамки урока.
  2. Актуализация знаний учащихся.
    Цель этапа: актуализировать знания учащихся по изученным ранее смежным темам
  3. Изучение новой темы (лекция). Цель этапа: сформулировать основные методы решения уравнений высших степеней (n > 3)
  4. Подведение итогов.
    Цель этапа: еще раз выделить ключевые моменты в материале, изученном на уроке.
  5. Домашнее задание.
    Цель этапа: сформулировать домашнее задание для учащихся.

Конспект урока

1. Организационный момент.

Формулировка темы урока: “Уравнения высших степеней. Методы их решения”.

2. Актуализация знаний учащихся.

Теоретический опрос – беседа. Повторение некоторых ранее изученных сведений из теории. Учащиеся формулируют основные определения и дают формулировки необходимых теорем. Приводят примеры, демонстрируя уровень полученных ранее знаний.

  • Понятие уравнения с одной переменной.
  • Понятие корня уравнения, решения уравнения.
  • Понятие линейного уравнения с одной переменной, понятие квадратного уравнения с одной переменной.
  • Понятие равносильности уравнений, уравнения-следствия (понятие посторонних корней), переход не по следствию (случай потери корней).
  • Понятие целого рационального выражения с одной переменной.
  • Понятие целого рационального уравнения n -й степени. Стандартный вид целого рационального уравнения. Приведенное целое рациональное уравнение.
  • Переход к совокупности уравнений более низких степеней путем разложения исходного уравнения на множители.
  • Понятие многочлена n -й степени от x . Теорема Безу. Следствия из теоремы Безу. Теоремы о корнях (Z -корни и Q -корни) целого рационального уравнения с целыми коэффициентами (соответственно приведенного и неприведенного).
  • Схема Горнера.

3. Изучение новой темы.

Будем рассматривать целое рациональное уравнение n -й степени стандартного вида с одной неизвестной переменной x: P n (x) = 0 , где P n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a 1 x + a 0 – многочлен n -й степени от x , a n ≠ 0 . Если a n = 1 то такое уравнение называют приведенным целым рациональным уравнением n -й степени. Рассмотрим такие уравнения при различных значениях n и перечислим основные методы их решения.

n = 1 – линейное уравнение.

n = 2 – квадратное уравнение. Формула дискриминанта. Формула для вычисления корней. Теорема Виета. Выделение полного квадрата.

n = 3 – кубическое уравнение.

Метод группировки.

Пример: x 3 – 4x 2 – x + 4 = 0 (x – 4)(x 2 – 1) = 0 x 1 = 4 , x 2 = 1, x 3 = -1.

Возвратное кубическое уравнение вида ax 3 + bx 2 + bx + a = 0. Решаем, объединяя члены с одинаковыми коэффициентами.

Пример: x 3 – 5x 2 – 5x + 1 = 0 (x + 1)(x 2 – 6x + 1) = 0 x 1 = -1, x 2 = 3 + 2, x 3 = 3 – 2.

Подбор Z-корней на основании теоремы. Схема Горнера. При применении этого метода необходимо сделать акцент на том, что перебор в данном случае конечный, и корни мы подбираем по определенному алгоритму в соответствии с теоремой о Z -корнях приведенного целого рационального уравнения с целыми коэффициентами.

Пример: x 3 – 9x 2 + 23x – 15 = 0. Уравнение приведенное. Выпишем делители свободного члена {+ 1; + 3; + 5; + 15}. Применим схему Горнера:

x 3 x 2 x 1 x 0 вывод
1 -9 23 -15
1 1 1 х 1 – 9 = -8 1 х (-8) + 23 = 15 1 х 15 – 15 = 0 1 – корень
x 2 x 1 x 0

Получаем (x – 1)(x 2 – 8x + 15) = 0 x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = 5.

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Q-корней на основании теоремы. Схема Горнера. При применении этого метода необходимо сделать акцент на том, что перебор в данном случае конечный и корни мы подбираем по определенному алгоритму в соответствии с теоремой о Q -корнях неприведенного целого рационального уравнения с целыми коэффициентами.

Пример: 9x 3 + 27x 2 – x – 3 = 0. Уравнение неприведенное. Выпишем делители свободного члена {+ 1; + 3}. Выпишем делители коэффициента при старшей степени неизвестного. {+ 1; + 3; + 9} Следовательно, корни будем искать среди значений {+ 1; + ; + ; + 3}. Применим схему Горнера:

x 3 x 2 x 1 x 0 вывод
9 27 -1 -3
1 9 1 x 9 + 27 = 36 1 x 36 – 1 = 35 1 x 35 – 3 = 32 ≠ 0 1 – не корень
-1 9 -1 x 9 + 27 = 18 -1 x 18 – 1 = -19 -1 x (-19) – 3 = 16 ≠ 0 -1 – не корень
9 x 9 + 27 = 30 x 30 – 1 = 9 x 9 – 3 = 0 корень
x 2 x 1 x 0

Получаем (x – )(9x 2 + 30x + 9) = 0 x 1 = , x 2 = - , x 3 = -3.

Для удобства подсчета при подборе Q-корней бывает удобно сделать замену переменной, перейти к приведенному уравнению и подбирать Z-корни .

  • Если свободный член равен 1
.

  • Если можно воспользоваться заменой вида y = kx
.

Формула Кардано. Существует универсальный метод решения кубических уравнений – это формула Кардано. Эту формулу связывают с именами итальянских математиков Джероламо Кардано (1501–1576), Николо Тарталья (1500–1557), Сципиона дель Ферро (1465–1526). Эта формула лежит за рамками нашего курса.

n = 4 – уравнение четвертой степени.

Метод группировки.

Пример: x 4 + 2x 3 + 5x 2 + 4x – 12 = 0 (x 4 + 2x 3) + (5x 2 + 10x ) – (6x + 12) = 0 (x + 2)(x 3 + 5x – 6) = 0 (x + 2)(x – 1)(x 2 + x + 6) = 0 x 1 = -2, x 2 = 1.

Метод замены переменной.

  • Биквадратное уравнение вида ax 4 + bx 2 + с = 0 .

Пример: x 4 + 5x 2 – 36 = 0. Замена y = x 2 . Отсюда y 1 = 4, y 2 = -9. Поэтому x 1,2 = + 2 .

  • Возвратное уравнение четвертой степени вида ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0.

Решаем, объединяя члены с одинаковыми коэффициентами, путем замены вида

  • ax 4 + bx 3 + cx 2 – bx + a = 0.

  • Обобщенное возвратное уравнение четвертой степени вида ax 4 + bx 3 + cx 2 + kbx + k 2 a = 0 .

  • Замена общего вида. Некоторые стандартные замены.

Пример 3. Замена общего вида (вытекает из вида конкретного уравнения).

n = 3.

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Q-корней n = 3.

Формула общего вида. Существует универсальный метод решения уравнений четвертой степени. Эту формулу связывают с именем Людовико Феррари (1522–1565). Эта формула лежит за рамками нашего курса.

n > 5 – уравнения пятой и более высоких степеней.

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Z-корней на основании теоремы. Схема Горнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n = 3.

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Q-корней на основании теоремы. Схема Горнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n = 3.

Симметрические уравнения. Любое возвратное уравнение нечетной степени имеет корень x = -1 и после разложения его на множители получаем, что один сомножитель имеет вид (x + 1), а второй сомножитель – возвратное уравнение четной степени (его степень на единицу меньше, чем степень исходного уравнения). Любое возвратное уравнение четной степени вместе с корнем вида x = φ содержит и корень вида . Используя эти утверждения, решаем задачу, понижая степень исследуемого уравнения.

Метод замены переменной. Использование однородности.

Не существует формулы общего вида для решения целых уравнений пятой степени (это показали итальянский математик Паоло Руффини (1765–1822) и норвежский математик Нильс Хенрик Абель (1802–1829)) и более высоких степеней (это показал французский математик Эварист Галуа (1811–1832)).

  • Напомним еще раз, что на практике возможно использование комбинации перечисленных выше методов. Удобно переходить к совокупности уравнений более низких степеней путем разложения исходного уравнения на множители .
  • За рамками нашего сегодняшнего обсуждения остались широко используемые на практике графические методы решения уравнений и методы приближенного решения уравнений высших степеней.
  • Бывают ситуации, когда у уравнения нет R-корней.
  • Тогда решение сводится к тому, чтобы показать, что уравнение корней не имеет. Для доказательства анализируем поведение рассматриваемых функций на промежутках монотонности. Пример: уравнение x 8 – x 3 + 1 = 0 не имеет корней.
  • Использование свойства монотонности функций
  • . Бывают ситуации, когда использование различных свойств функций позволяет упростить поставленную задачу.
    Пример 1: уравнение x 5 + 3x – 4 = 0 имеет один корень x = 1. По свойству монотонности анализируемых функций других корней нет.
    Пример 2: уравнение x 4 + (x – 1) 4 = 97 имеет корни x 1 = -2 и x 2 = 3. Проанализировав поведение соответствующих функций на промежутках монотонности, заключаем, что других корней нет.

4. Подведение итогов.

Резюме: Теперь мы овладели основными методами решения различных уравнений высших степеней (для n > 3). Наша задача научиться эффективно использовать перечисленные выше алгоритмы. В зависимости от вида уравнения мы должны будем научиться определять, какой способ решения в данном случае является наиболее эффективным, а также правильно применять выбранный метод.

5. Домашнее задание.

: п.7, стр. 164–174, №№ 33–36, 39–44, 46,47.

: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

Возможные темы докладов или рефератов по данной тематике:

  • Формула Кардано
  • Графический метод решения уравнений. Примеры решения.
  • Методы приближенного решения уравнений.

Анализ усвоения материала и интереса учащихся к теме:

Опыт показывает, что интерес учащихся в первую очередь вызывает возможность подбора Z -корней и Q -корней уравнений при помощи достаточно простого алгоритма с использованием схемы Горнера. Также учащиеся интересуются различными стандартными типами замены переменных, которые позволяют существенно упрощать вид задачи. Особый интерес обычно вызывают графические методы решения. В этом случае дополнительно можно разобрать задачи на графический метод решения уравнений; обсудить общий вид графика для многочлена 3, 4, 5 степени; проанализировать, как связано число корней уравнений 3, 4, 5 степени с видом соответствующего графика. Ниже приведен список книг, в которых можно найти дополнительную информацию по данной тематике.

Список литературы:

  1. Виленкин Н.Я. и др. “Алгебра. Учебник для учащихся 9 классов с углубленным изучением математики” – М., Просвещение, 2007 – 367 с.
  2. Виленкин Н.Я., Шибасов Л.П., Шибасова З.Ф. “За страницами учебника математики. Арифметика. Алгебра. 10-11 класс” – М., Просвещение, 2008 – 192 с.
  3. Выгодский М.Я. “Справочник по математике” – М., АСТ, 2010 – 1055 с.
  4. Галицкий М.Л. “Сборник задач по алгебре. Учебное пособие для 8-9 классов с углубленным изучением математики” – М., Просвещение, 2008 – 301 с.
  5. Звавич Л.И. и др. “Алгебра и начала анализа. 8–11 кл. Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики” – М., Дрофа, 1999 – 352 с.
  6. Звавич Л.И., Аверьянов Д.И., Пигарев Б.П., Трушанина Т.Н. “Задания по математике для подготовки к письменному экзамену в 9 классе” – М., Просвещение, 2007 – 112 с.
  7. Иванов А.А., Иванов А.П. “Тематические тесты для систематизации знаний по математике” ч.1 – М., Физматкнига, 2006 – 176 с.
  8. Иванов А.А., Иванов А.П. “Тематические тесты для систематизации знаний по математике” ч.2 – М., Физматкнига, 2006 – 176 с.
  9. Иванов А.П. “Тесты и контрольные работы по математике. Учебное пособие”. – М., Физматкнига, 2008 – 304 с.
  10. Лейбсон К.Л. “Сборник практических заданий по математике. Часть 2–9 класс” – М., МЦНМО, 2009 – 184 с.
  11. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. “Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику 9 класса. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.” – М., Просвещение, 2006 – 224 с.
  12. Мордкович А.Г. “Алгебра. Углубленное изучение. 8 класс. Учебник” – М., Мнемозина, 2006 – 296 с.
  13. Савин А.П. “Энциклопедический словарь юного математика” – М., Педагогика, 1985 – 352 с.
  14. Сурвилло Г.С., Симонов А.С. “Дидактические материалы по алгебре для 9 класса с углубленным изучением математики” – М., Просвещение, 2006 – 95 с.
  15. Чулков П.В. “Уравнения и неравенства в школьном курсе математик. Лекции 1–4” – М., Первое сентября, 2006 – 88 с.
  16. Чулков П.В. “Уравнения и неравенства в школьном курсе математик. Лекции 5–8” – М., Первое сентября, 2009 – 84 с.

Методы решения уравнений: n n n Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x) Разложение на множители. Введение новой переменной. Функционально – графический метод. Подбор корней. Применение формул Виета.

Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x). Метод можно применять только в том случае, когда y = h(x) – монотонная функция, которая каждое свое значение принимает по одному разу. Если функция немонотонная, то возможна потеря корней.

Решить уравнение (3 x + 2)²³ = (5 x – 9)²³ y = x ²³ возрастающая функция, поэтому от уравнения (3 x + 2)²³ = (5 x – 9)²³ можно перейти к уравнению 3 x + 2 = 5 x – 9, откуда находим x = 5, 5. Ответ: 5, 5.

Разложение на множители. Уравнение f(x)g(x)h(x) = 0 можно заменить совокупностью уравнений f(x) = 0; g(x) = 0; h(x) = 0. Решив уравнения этой совокупности, нужно взять те их корни, которые принадлежат области определения исходного уравнения, а остальные отбросить как посторонние.

Решить уравнение x³ – 7 x + 6 = 0 Представив слагаемое 7 x в виде x + 6 x, получим последовательно: x³ – x – 6 x + 6 = 0 x(x² – 1) – 6(x – 1) = 0 x(x – 1)(x + 1) – 6(x – 1) = 0 (x – 1)(x² + x – 6) = 0 Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений x – 1 = 0; x² + x – 6 = 0. Ответ: 1, 2, – 3.

Введение новой переменной. Если уравнение y(x) = 0 удалось преобразовать к виду p(g(x)) = 0, то нужно ввести новую переменную u = g(x), решить уравнение p(u) = 0, а затем решить совокупность уравнений g(x) = u 1; g(x) = u 2; … ; g(x) = un , где u 1, u 2, … , un – корни уравнения p(u) = 0.

Решить уравнение Особенностью этого уравнения является равенство коэффициентов его левой части, равноудаленных от ее концов. Такие уравнения называют возвратными. Поскольку 0 не является корнем данного уравнения, делением на x² получаем

Введем новую переменную Тогда Получаем квадратное уравнение Так корень y 1 = – 1 можно не рассматривать. Получим Ответ: 2, 0, 5.

Решите уравнение 6(x² – 4)² + 5(x² – 4)(x² – 7 x +12) + (x² – 7 x + 12)² = 0 Данное уравнение может быть решено как однородное. Поделим обе части уравнения на (x² – 7 x +12)² (ясно, что значения x такие, что x² – 7 x +12=0 решениями не являются). Теперь обозначим Имеем Отсюда Ответ:

Функционально – графический метод. Если одна из функций у = f(x), y = g(x) возрастает, а другая – убывает, то уравнение f(x) = g(x) либо не имеет корней, либо имеет один корень.

Решить уравнение Достаточно очевидно, что x = 2 – корень уравнения. Докажем, что это единственный корень. Преобразуем уравнение к виду Замечаем, что функция возрастает, а функция убывает. Значит, уравнение имеет только один корень. Ответ: 2.

Подбор корней n n n Теорема 1: Если целое число m является корнем многочлена с целыми коэффициентами, то свободный член многочлена делится на m. Теорема 2: Приведенный многочлен с целыми коэффициентами не имеет дробных корней. Теорема 3: – уравнение с целыми Пусть коэффициентами. Если число и дробь где p и q – целые числа несократима, является корнем уравнения, то p есть делитель свободного члена an , а q – делитель коэффициента при старшем члене a 0.

Теорема Безу. Остаток при делении любого многочлена на двучлен (x – a) равен значению делимого многочлена при x = a. Следствия теоремы Безу n n n n Разность одинаковых степеней двух чисел делится без остатка на разность этих же чисел; Разность одинаковых четных степеней двух чисел делится без остатка как на разность этих чисел, так и на их сумму; Разность одинаковых нечетных степеней двух чисел не делится на сумму этих чисел; Сумма одинаковых степеней двух не чисел делится на разность этих чисел; Сумма одинаковых нечетных степеней двух чисел делится без остатка на сумму этих чисел; Сумма одинаковых четных степеней двух чисел не делится как на разность этих чисел, так и на их сумму; Многочлен делится нацело на двучлен (x – a) тогда и только тогда, когда число a является корнем данного многочлена; Число различных корней многочлена, отличного от нуля, не более чем его степень.

Решить уравнение x³ – 5 x² – x + 21 = 0 Многочлен x³ – 5 x² – x + 21 имеет целые коэффициенты. По теореме 1 его целые корни, если они есть, находятся среди делителей свободного члена: ± 1, ± 3, ± 7, ± 21. Проверкой убеждаемся в том, что число 3 является корнем. По следствию из теоремы Безу многочлен делится на (x – 3). Таким образом, x³– 5 x² – x + 21 = (x – 3)(x²– 2 x – 7). Ответ:

Решить уравнение 2 x³ – 5 x² – x + 1 = 0 По теореме 1 целыми корнями уравнения могут быть только числа ± 1. Проверка показывает, что данные числа не являются корнями. Так как уравнение не является приведенным, то оно может иметь дробные рациональные корни. Найдем их. Для этого умножим обе части уравнения на 4: 8 x³ – 20 x² – 4 x + 4 = 0 Сделав подстановку 2 x = t, получим t³ – 5 t² – 2 t + 4 = 0. По тереме 2 все рациональные корни данного приведенного уравнения должны быть целыми. Их можно найти среди делителей свободного члена: ± 1, ± 2, ± 4. В данном случае подходит t = – 1. Следовательно По следствию из теоремы Безу многочлен 2 x³ – 5 x² – x + 1 делится на (x + 0, 5): 2 x³ – 5 x² – x + 1 = (x + 0, 5)(2 x² – 6 x + 2) Решив квадратное уравнение 2 x² – 6 x + 2 = 0, находим остальные корни: Ответ:

Решить уравнение 6 x³ + x² – 11 x – 6 = 0 По теореме 3 рациональные корни этого уравнения следует искать среди чисел Подставляя их поочередно в уравнение, найдем, что удовлетворяют уравнению. Ими и исчерпываются все корни уравнения. Ответ:

Найти сумму квадратов корней уравнения x³ + 3 x² – 7 x +1 = 0 По теореме Виета Заметим, что откуда

Укажите, каким методом можно решить каждое из данных уравнений. Решите уравнения № 1, 4, 15, 17.

Ответы и указания: 1. Введение новой переменной. 2. Функционально – графический метод. 3. Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x). 4. Разложение на множители. 5. Подбор корней. 6 Функционально – графический метод. 7. Применение формул Виета. 8. Подбор корней. 9. Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x). 10. Введение новой переменной. 11. Разложение на множители. 12. Введение новой переменной. 13. Подбор корней. 14. Применение формул Виета. 15. Функционально – графический метод. 16. Разложение на множители. 17. Введение новой переменной. 18. Разложение на множители.

1. Указание. Запишите уравнение в виде 4(x²+17 x+60)(x+16 x+60)=3 x², Разделите обе его части на x². Введите переменную Ответ: x 1 = – 8; x 2 = – 7, 5. 4. Указание. Прибавьте к левой части уравнения 6 y и – 6 y и запишите его в виде (y³ – 2 y²) + (– 3 y² + 6 y) + (– 8 y + 16) = (y – 2)(y² – 3 y – 8). Ответ:

14. Указание. По теореме Виета Так как – целые числа, то корнями уравнения могут быть только числа – 1, – 2, – 3. Ответ: 15. Ответ: – 1. 17. Указание. Разделите обе части уравнения на x² и запишите его в виде Введите переменную Ответ: 1; 1, 5; 2; 3.

Библиография. n n n Колмогоров А. Н. «Алгебра и начала анализа, 10 – 11» (М. : Просвещение, 2003). Башмаков М. И. «Алгебра и начала анализа, 10 – 11» (М. : Просвещение, 1993). Мордкович А. Г. «Алгебра и начала анализа, 10 – 11» (М. : Мнемозина, 2003). Алимов Ш. А. , Колягин Ю. М. и др. «Алгебра и начала анализа, 10 – 11» (М. : Просвещение, 2000). Галицкий М. Л. , Гольдман А. М. , Звавич Л. И. «Сборник задач по алгебре, 8 – 9» (М. : Просвещение, 1997). Карп А. П. «Сборник задач по алгебре и началам анализа, 10 – 11» (М. : Просвещение, 1999). Шарыгин И. Ф. «Факультативный курс по математике, решение задач, 10» (М. : Просвещение. 1989). Скопец З. А. «Дополнительные главы по курсу математики, 10» (М. : Просвещение, 1974). Литинский Г. И. «Уроки математики» (М. : Аслан, 1994). Муравин Г. К. «Уравнения, неравенства и их системы» (Математика, приложение к газете «Первое сентября» , № 2, 3, 2003). Колягин Ю. М. «Многочлены и уравнения высших степеней» (Математика, приложение к газете «Первое сентября» , № 3, 2005).

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Решение алгебраических уравнений высших степеней с одним неизвестным представляет собой одну из труднейших и древнейших математических задач. Этими задачами занимались самые выдающиеся математики древности.

Решение уравнений n-ой степени является важной задачей и для современной математики. Интерес к ним достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны с поиском корней уравнений, не рассматриваемых школьной программой по математике.

Проблема: отсутствие навыков решения уравнений высших степеней различными способами у учащихся мешает им успешно подготовиться к итоговой аттестации по математике и математическим олимпиадам, обучению в профильном математическом классе.

Перечисленные факты определили актуальность нашей работы «Решение уравнений высших степеней».

Владение простейшими способами решения уравнений n-ой степени сокращает время для выполнения задания, от которого зависит результат работы и качество процесса обучения.

Цель работы: изучение известных способов решения уравнений высших степеней и выявление наиболее доступных из них для практического применения.

Исходя из поставленной цели, в работе определены следующие задачи:

Изучить литературу и Интернет-ресурсы по данной теме;

Познакомиться с историческими фактами, касающимися данной темы;

Описать различные способы решения уравнений высших степеней

сравнить степень сложности каждого из них;

Познакомить одноклассников со способами решения уравнений высших степеней;

Создать подборку уравнений для практического применения каждого из рассмотренных способов.

Объект исследования - уравнения высших степеней с одной переменной.

Предмет исследования - способы решения уравнений высших степеней.

Гипотеза: общего способа и единого алгоритма, позволяющего за конечное число шагов находить решения уравнений n-ой степени, не существует.

Методы исследования:

- библиографический метод (анализ литературы по теме исследования);

- метод классификации;

- метод качественного анализа.

Теоретическая значимость исследования состоит в систематизации способов решения уравнений высших степеней и описании их алгоритмов.

Практическая значимость - предъявленный материал по данной теме и разработка учебного пособия для учащихся по данной теме.

1.УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ

1.1 Понятие уравнения n-ой степени

Определение 1. Уравнением n-ой степени называется уравнение вида

a 0 xⁿ+a 1 x n -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a n -1 x+a n = 0, где коэффициенты a 0, a 1, a 2…, a n -1, a n- любые действительные числа, причём,a 0 ≠ 0 .

Многочлен a 0 xⁿ+a 1 x n -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a n -1 x+a n называют многочленом n-ой степени. Коэффициенты различают по названиям: a 0 - старший коэффициент; a n- свободный член.

Определение 2. Решениями или корнями для данного уравнения являются все значения переменной х , которые обращают это уравнение в верное числовое равенство или, при котором многочлен a 0 xⁿ+a 1 x n -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a n -1 x+a n обращается в нуль. Такое значение переменной х называют также корнем многочлена. Решить уравнение - это значит найти все его корни или установить, что их нет.

Если a 0 = 1, то такое уравнение называют приведенным целым рациональным уравнением n степени.

Для уравнений третьей и четвёртой степени существуют формулы Кардано и Феррари, выражающими корни этих уравнений через радикалы. Выяснилось, что на практике ими редко пользуются. Таким образом, если n ≥ 3, а коэффициенты многочлена произвольные действительные числа, то поиск корней уравнения − задача непростая. Тем не менее, во многих частных случаях эта задача решается до конца. Остановимся на некоторых из них.

1.2 Исторические факты решения уравнений высших степеней

Уже в древности люди осознали, как важно научиться решать алгебраические уравнения. Около 4000 лет назад вавилонские ученые владели решением квадратного уравнения и решали системы двух уравнений, из которых одно - второй степени. С помощью уравнений высших степеней решались разнообразные задачи землемерия, архитектуры и военного дела, к ним сводились многие и разнообразные вопросы практики и естествознания, так как точный язык математики позволяет просто выразить факты и соотношения, которые, будучи изложенными обычным языком, могут показаться запутанными и сложными.

Универсальной формулы для нахождения корней алгебраического уравнения n-ой степени нет. Многим, разумеется, приходила в голову заманчивая мысль найти для любой степени n формулы, которые выражали бы корни уравнения через его коэффициенты, то есть, решали бы уравнение в радикалах.

Только в 16 веке итальянским математикам удалось продвинуться дальше - найти формулы для n= 3 и n= 4. Одновременно вопросом об общем решении уравнений 3-й степени занимались Сципион, Даль, Ферро и его ученики Фиори и Тарталья.

В 1545 году вышла книга итальянского математика Д. Кардано «Великое искусство, или о правилах алгебры», где наряду с другими вопросами алгебры рассматриваются общие способы решения кубических уравнений, а также метод решения уравнений 4-й степени, открытый его учеником Л. Феррари .

Полное изложение вопросов, связанных с решением уравнений 3-й и 4-й степеней, дал Ф. Виет.

В 20-х годах 19 века, норвежский математик Н. Абель доказал, что корни уравнений пятой степени не могут быть выражены через радикалы .

В ходе исследования было выявлено, что современной науке известно множество способов решения уравнений n-ой степени.

Результатом поиска методов решения уравнений высших степеней, неподдающихся решению способами, рассматриваемыми в школьной программе, стали способы, основанные на применении теоремы Виета (для уравнений степени n>2 ), теоремы Безу, схемы Горнера, а также формула Кардано и Феррари для решения кубических уравнений и уравнений четвертой степени.

В работе представлены методы решения уравнений и их виды, которые для нас стали открытием. К ним можно отнести - метод неопределенных коэффициентов, выделение полной степени, симметрические уравнения.

2. РЕШЕНИЕ ЦЕЛЫХ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

2.1 Решение уравнений 3-ей степени. Формула Д. Кардано

Рассмотрим уравнения вида x 3 +px+q=0. Преобразуем уравнение общего вида к виду: x 3 +px 2 +qx+r=0. Запишем формулу куба суммы; Сложим с первоначальным равенством и заменим на y . Получим уравнение: y 3 + (q -) (y -) + (r - =0. После преобразований, имеем: y 2 +py + q=0. Теперь, снова запишем формулу куба суммы:

(a + b ) 3 =a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = a 3 + b 3 + 3ab (a + b), заменим (a + b )на x , получим уравнение x 3 - 3abx - (a 3 +b 3) = 0. Теперь видно, что исходное уравнение равносильно системе: и Решая систему, получим:

Мы получили формулу для решения приведенного уравнения 3-й степени. Она носит имя итальянского математика Кардано.

Рассмотрим пример. Решить уравнение: .

Имеем р = 15 и q = 124, тогда используя формулу Кардано вычислим корень уравнения

Вывод: данная формула хороша, но не подходит для решения всех кубических уравнений. Вместе с тем она громоздка. Поэтому на практике ею пользуются редко.

Но тот, кто овладеет данной формулой, может использовать её при решении уравнений третьей степени на ЕГЭ.

2.2 Теорема Виета

Из курса математики мы знаем данную теорему для квадратного уравнения, но мало кто знает, что ее используют и для решения уравнений высших степеней.

Рассмотрим уравнение:

разложим левую часть уравнения на множители, разделим на ≠ 0.

Правую часть уравнения преобразуем к виду

; отсюда следует, можно записать в систему следующие равенства:

Формулы, выведенные Виетом для квадратных уравнений и продемонстрированные нами для уравнений 3-й степени, верны и для многочленов высших степеней.

Решим кубическое уравнение:

Вывод: данный способ универсален и достаточно легок для понимания учащимися, так как теорема Виета им знакома по школьной программе для n = 2. Вместе с тем, чтобы находить корни уравнений с помощью данной теоремы необходимо обладать хорошими вычислительными навыками.

2.3 Теорема Безу

Эта теорема, названа по имени французского математика XVIII века Ж. Безу.

Теорема. Если уравнение a 0 xⁿ+a 1 x n -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a n -1 x+a n = 0, в котором все коэффициенты целые числа, причем свободный член отличен от нуля, имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена.

Учитывая, что в левой части уравнения многочлен n-й степени, то теорема имеет и другую трактовку.

Теорема. При делении многочлена n-й степени относительно x на двучлен x - a остаток равен значению делимого при x = a . (буква a может обозначать любое действительное или мнимое число, т.е. любое комплексное число) .

Доказательство: пусть f(x ) обозначает собой произвольный многочлен n-й степени относительно переменной x и пусть при его делении на двучлен (x-a ) получилось в частном q(x ), а в остатке R . Очевидно, что q(x) будет некоторый многочлен (n- 1)-й степени относительно x , а остаток R будет величиной постоянной, т.е. не зависящей от x .

Если бы остаток R был многочленом первой степени относительно x, то это означало бы, что деление не выполнено. Итак, R от x не зависит. По определению деления получаем тождество: f(x)=(x-a) q(x)+R .

Равенство справедливо при всяком значении x, значит, оно справедливо и при x=a , получим: f(a)=(a-a) q(a)+R . Символ f(a ) обозначает собой значение многочлена f(x ) при x=a, q(a) обозначает значение q(x ) при x=a. Остаток R остался таким, каким он был раньше, так как R от x не зависит. Произведение (x-a) q(a) = 0 , так как множитель (x-a) = 0, а множитель q(a) есть определенное число. Поэтому из равенства получим: f(a)= R, ч.т.д.

Пример 1. Найти остаток от деления многочлена x 3 - 3x 2 + 6x- 5 на двучлен

x- 2. По теореме Безу: R=f (2) = 23-322 + 62 -5=3. Ответ: R= 3.

Отметим, что теорема Безу важна не столь сама по себе, сколько своими следствиями. (Приложение 1)

Остановимся на рассмотрении некоторых приемов применения теоремы Безу к решению практических задач. Следует отметить, что при решении уравнений с помощью теоремы Безу необходимо:

Найти все целые делители свободного члена;

Из этих делителей найти хотя бы один корень уравнения;

Левую часть уравнения разделить на (х-а );

Записать в левой части уравнения произведение делителя и частного;

Решить полученное уравнение.

Рассмотрим на примере решения уравнения х 3 + 4х 2 + х - 6 = 0 .

Решение:находим делители свободного члена ±1; ± 2; ± 3; ± 6. Вычислим значения при х= 1, 1 3 + 41 2 + 1- 6=0. Разделим левую часть уравнения на (х- 1). Деление выполним «уголком», получим:

Вывод: теорема Безу один из тех способов, которые мы рассматриваем в нашей работе, изучается в программе факультативных занятий. Она трудна в понимании, потому что, чтобы ей владеть, надо знать все следствия из нее, но при этом теорема Безу является одним из главных помощников учащихся на ЕГЭ.

2.4 Схема Горнера

Для деления многочлена на двучлен х-α можно использовать специальный несложный прием, придуманный английскими математиками XVII века, впоследствии названной схемой Горнера. Помимо нахождения корней уравнений, по схеме Горнера можно более просто вычислять их значения. Для этого необходимо подставить значение переменной в многочлен Pn(x)=a 0 xn+a 1 x n-1 +a 2 xⁿ - ²+…++ a n -1 x+a n. (1)

Рассмотрим деление многочлена (1) на двучлен x -α.

Выразим коэффициенты неполного частного b 0 xⁿ - ¹+ b 1 xⁿ - ²+ b 2 xⁿ - ³+…+ bn -1 и остаток r через коэффициенты многочлена Pn(x ) и число α. b 0 =a 0 , b 1 = α b 0 +a 1 , b 2 = α b 1 +a 2 …, bn -1 =

= α bn -2 +a n -1 = α bn -1 +a n .

Вычисления по схеме Горнера представлены в виде следующей таблицы:

а 0

a 1

a 2 ,

b 0 0

b 1 = α b 0 +a 1

b 2 = α b 1 +a 2

r=α b n-1 +a n

Поскольку r=Pn(α), то α − корень уравнения. Для того чтобы проверить не является ли α кратным корнем, схему Горнера можно применить уже к частному b 0 x+ b 1 x+…+ bn -1 по таблице. Если в столбце под bn -1 получится снова 0, значит α − кратный корень.

Рассмотрим пример: решить уравнение х 3 + 4х 2 + х - 6 = 0.

Применим к левой части уравнения разложение на множители многочлена, стоящего в левой части уравнения, схему Горнера.

Решение:находим делители свободного члена ± 1; ± 2; ± 3; ± 6.

6 ∙ 1 + (-6) = 0

Коэффициенты частного - числа 1, 5, 6, а остаток r = 0.

Значит, х 3 + 4х 2 + х - 6 = (х - 1) (х 2 + 5х + 6) = 0.

Отсюда: х - 1 = 0 или х 2 + 5х + 6 = 0.

х = 1, х 1 = -2; х 2 = -3. Ответ: 1,- 2, - 3.

Вывод: таким образом, на одном уравнении мы показали применение двух различных способов разложения на множители многочленов. На наш взгляд, схема Горнера наиболее практична и экономична.

2.5 Решение уравнений 4-ой степени. Метод Феррари

Ученик Кардано Людовик Феррари обнаружил способ решения уравнения 4-й степени. Метод Феррари состоит из двух этапов.

I этап: уравнения вида представляется в виде произведения двух квадратных трехчленов это следует из того, что уравнение 3-ей степени и хотя бы одно решение.

II этап: полученные уравнения решаются при помощи разложения на множители, однако для того, чтобы найти требуемое разложение на множители, приходится решать кубические уравнения.

Идея в том, чтобы представить уравнения в виде A 2 =B 2 , где A=x 2 +s,

B-линейная функция от x . Тогда остаётся решить уравнения A = ±B.

Для наглядности рассмотрим уравнение: Уединим 4-ю степень, получим: Для любого d выражение будет полным квадратом. Прибавим к обеим частям уравнения получим

В левой части полный квадрат, можно подобрать d , чтобы и правая часть (2) стала полным квадратом. Представим себе, что мы достигли этого. Тогда наше уравнение выглядит так:

Найти корень впоследствии не составит никакого труда. Чтобы правильно подобрать d надо, чтобы дискриминант правой части (3) обратился в нуль, т.е.

Итак, чтобы найти d , надо решить это уравнение 3-й степени. Такое вспомогательное уравнение называют резольвентой .

Легко находим целый корень резольвенты: d = 1

Подставив в (1) уравнение получим

Вывод: метод Феррари универсален, но сложен и громоздкий. Вместе с тем, если алгоритм решения понятен, то уравнения 4-й степени можно решать данным методом.

2.6 Метод неопределенных коэффициентов

Успех решения уравнения 4-й степени методом Феррари зависит от того, реши ли мы резольвенту - уравнение 3-й степени, что как мы знаем, не всегда удается.

Суть метода неопределенных коэффициентов состоит в том, что вид сомножителей, на которые разлагается данный многочлен, угадывается, а коэффициенты этих сомножителей (также многочленов) определяется путем перемножения сомножителей и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменной .

Пример: решите уравнение:

Предположим, что левую часть нашего уравнения можно разложить на два квадратных трехчлена с целыми коэффициентами такие, что справедливо тождественное равенство

Очевидно, что коэффициенты перед уних должны быть равными 1, а свободные члены - у одного + 1, у другого - 1.

Неопределенными остаются коэффициенты, стоящие перед х . Обозначим их через а и и чтобы их определить, перемножим оба трехчлена правой части уравнения.

В результате получим:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях равенства (1), получаем систему для нахождения и

Решив эту систему, будем иметь

Итак, наше уравнение равносильно уравнению

Решив его, получаем следующие корни: .

Метод неопределенных коэффициентов опирается на следующие утверждения: любой многочлен четвертой степени, стоящий в уравнении, можно разложить на произведение двух многочленов второй степени; два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях х.

2.7 Симметрические уравнения

Определение. Уравнение вида называется симметрическим, еслипервые коэффициенты, стоящие в уравнении слева, равны первым коэффициентам, стоящим справа .

Мы видим, что первые коэффициенты слева равны первым коэффициентам справа.

Если такое уравнение имеет нечетную степень, то оно имеет корень х = - 1. Далее мы можем понизить степень уравнения, поделив его на (х+ 1). Оказывается, что при делении симметрического уравнения на (х+ 1) получается симметрическое уравнение четной степени. Доказательство симметричности коэффициентов представлено ниже. (Приложение 6) Наша задача - научиться решать симметрические уравнения четной степени.

Например: (1)

Решим уравнение (1), поделим на х 2 (на среднюю степень) = 0.

Сгруппируем слагаемые с симметричными

) + 3(x + . Обозначим у = x + , возведём обе части в квадрат, отсюда = у 2 Итак, 2(у 2 или 2у 2 + 3 решив уравнение, получим у = , у = 3. Далее вернёмся к замене x + = и x + = 3. Получим уравнения и Первое не имеет решения, а второе имеет два корня. Ответ:.

Вывод: данный вид уравнений не часто встречающийся, но если он вам попался, то его можно решить легко и просто не прибегая к громоздким вычислениям.

2.8 Выделение полной степени

Рассмотрим уравнение.

Левая часть представляет собой куб суммы (х+1), т.е.

Извлекаем корень третьей степени из обеих частей: , далее получим

Откуда единственный корень.

РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

По результатам работы мы пришли к следующим выводам:

Благодаря изученной теории мы познакомились с различными методами решения целых уравнений высших степеней;

Формула Д. Кардано является сложной в применении и даёт большую вероятность допустить ошибки при вычислении;

− метод Л. Феррари позволяет свести решение уравнения четвертой степени к кубическому;

− теорема Безу может применяться как для кубических уравнений, так и для уравнений четвертой степени; она более понятна и наглядна в применении к решению уравнений;

Схема Горнера помогает существенно сократить и упростить вычисления в решении уравнений. Помимо нахождения корней, по схеме Горнера можно более просто вычислять значения многочленов, стоящих в левой части уравнения;

Особый интерес вызвали решения уравнений методом неопределённых коэффициентов, решение симметрических уравнений.

В ходе исследовательской работы было выяснено, что с простейшими способами решения уравнений высшей степени учащиеся знакомятся на занятиях факультатива по математике, начиная с 9-го или 10-го классов, а также на спецкурсах выездных математических школ. Данный факт установлен в результате опроса учителей математики МБОУ «СОШ № 9» и учащихся, проявляющих повышенный интерес к предмету «математика».

Наиболее востребованными методами решения уравнений высших степеней, которые встречаются при решении олимпиадных, конкурсных задач и в результате подготовки к экзаменам учащимися, являются методы, основанные на применении теоремы Безу, схемы Горнера и введение новой переменной.

Демонстрация результатов исследовательской работы, т.е. способов решения уравнений, не изучаемых в школьной программе по математике, заинтересовала одноклассников.

Заключение

Изучив учебную и научную литературу, Интернет-ресурсы в молодежных образовательных форумах